TP1 - Prise en main

Exercice 1

Définir la fonction f(x)=(x+2+3x +5) / (x+2)2 .

f[x_]:= (x+ 2 + 3x+5)/ (x+2)^2

Calculez la dérivée de f(x) et les zéros de la dérivée.

f'= D[f[x],x]

(4/(((2+x))^2))-((2 (7+4 x))/(((2+x))^3))

Regardons les zéros de la dérivée :

Solve [f'==0,x]

{{x->-(3/2)}}

Exprimez la dérivée sous forme factorisée pour vérifier ses zéros

Factor [f']

-((2 (3+2 x))/(((2+x))^3))

on voit facilement que 3+2x=0 <=> x=-3/2

Calculez les valeurs numériques de f(x) aux zéros de sa dérivée

f[-3/2]

4

Calculez les limites de f(x) quand x→ - ∞ , x→ + ∞ , x→ 2

Limit[f[x],x->-∞]

Limit[f[x],x->∞]

Limit[f[x],x->2]

Calculez le développement limité de f(x) à l’ordre 4

Series[f[x],{x,0,4}]

(7/4)-((3 x)/4)+((5 (x^2))/16)-((x^3)/8)+((3 (x^4))/64)+((O[x])^5)

Tracez la courbe de f(x)

Plot[f[x],{x,-10,10}]

Exercices de construction de listes

Pour chacune des listes ci-dessous, donnez la ligne de Mathematica qui permet de la construire (en utilisant Table, Range)

{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}
Range [-10,2]

{(1/4),(1/6),(1/8),(1/10),(1/12)}
Table [1/(2x),{x,2,6}]

{1,1,1,1,1,1}
Table[1,{6}]

{-(1/5),(1/10),-(1/15),(1/20),-(1/25),(1/30)}
Table [((-1)^x) (1/(5x)),{x,6}]

{1,E,(E^2),(E^3),(E^4),(E^5)}
Table [E^x,{x,0,5}]

Quelques exercices

Clear [f]
f

Définir la fonction f(x)=x^2+x+1

f[x_]:= x^2+x+1

En calculer la dérivée

D[f[x],x]

1+2 x

Définir la fonction g(x,y) comme le produit de f(x) par y

g[x_,y_]:= f[x]*y

Calculer la dérivée de g pas rapport à x et y

D[g[x,y],x,y]

1+2 x

Calculer la dérivée de g par rapport à x

D[g[x,y],x]

(1+2 x) y

Calculer la primitive de f(x)

Integrate[f[x],x]

x+((x^2)/2)+((x^3)/3)

Calculer l’intégrale de f(x) entre 0 et 2

Integrate [f[x],{x,0,2}]

(20/3)

Tracer le graphe de la fonction f entre -10 et 10

Plot[f[x],{x,-10,10}]

Trouver la valeur de x qui annule f et en déduire que f(x) n’a pas de racine réelle

Solve[f[x]==0,x]

{{x->-(((-1))^(1/3))},{x->(((-1))^(2/3))}}

On trouve une solution Complexe, mais non Réel, en effet on voit d’après le graphique que ça s’annule pas .