Solutions algébriques

Plus généralement, nous nous sommes attachés à rechercher des solutions algébriques aux problèmes d'égalisation ou d'identification aveugles, sous l'hypothèse de sources discrètes (et pas nécessairement statistiquement indépendantes) [33]. D'une part, cette hypothèse est souvent vérifiée en traitement numérique du signal, et particulièrement en télécommunications ; d'autre part, imposer un alphabet discret dans le plan complexe revient à simplement ajouter une équation polynomiale, P(z) = 0.

Tout d'abord, pour la séparation aveugle de mélanges statiques, afin de déterminer les extracteurs linéaires possibles, f, nous minimisons algébriquement P(f^Ty(n)) pour l'ensemble des observations {y(n), 1 $\leq$ n $\leq$ N}. Le problème auquel on aboutit revient à approximer un tenseur par un autre de structure imposée. Le cas de P(z) = z^D, où D est entier, c.-à-d. des modulations PSK, a été résolu [20,36,33].

Ensuite, pour l'identification aveugle SISO , en exprimant les moments d'ordre deux (circulaires et non circulaires) en fonction de ceux de l'entrée, on établit un système polynomial de degré deux que doivent satisfaire les coefficients du canal. L'identifiablitité du canal a été démontrée sous des hypothèses faibles, dès lors que les sources ont des moments non circulaires d'ordre deux non nuls. Le cas des modulations DBPSK ou MSK a été traité plus précisément [37], et l'algorithme de résolution testé dans des conditions réalistes de canaux aléatoires. Le système polynomial induit par la modulation DQPSK, bien que théoriquement similaire, est plus compliqué à résoudre dans la pratique. Cependant, nous sommes sur le point d'avoir un algorithme numérique à présent très viable [41].

D'autres méthodes algébriques pour le traitement du signal ont été développées. Par exemple, la factorisation de matrices polyphases pour l'étude et la construction de multi-filtres [39] [43], ou la construction de bancs de filtres par une approche de type bases de GRÖBNER [40,42].

Enfin, certains problèmes sont plus spécifiques aux communications numériques. C'est le cas de l'élimination du résidu de porteuse [50,49,14], que nous avons appliquée dans le domaine du radar secondaire [50]. Une autre application aux télécommunications de 3^egénération a été étudiée, et concerne l'égalisation de canal MIMO lorsque les entrées ont une distribution discrète connue et que le canal a été identifié au préalable [22]. Cette dernière application a été développée dans le cadre d'un contrat RNRT (cf. section suivante).