Probabilités et statistiques

Miage Nice Sophia

Jean-Marc Fédou

Plan du cours

L’objet de ce cours est d’une part de présenter les bases de probabilités et de statistiques et d’autre part faire des rappels et compléments de mathématiques.

Probabilités discrètes et Combinatoire

Variables aléatoires

Variables aléatoires discrètes

Probabilités continues-Rappels d’analyse

Loi Normale

Vecteurs aléatoires-Algèbre linéaire

Estimation statistique

Tests statistiques

On utilisera le logiciel Mathematica comme outil d’aide et de test.

I. Probabilités discrètes et rappels de combinatoire

Représentation des données

On représente une liste de réels sous forme d’histogrammes, l’idée étant de diviser l’intervalle [a,b] des données en p parties (en général de longueurs égales) et à compter dans chaque partie le nombre d’éléments de la liste qu’elle contient. On dessine alors un ensemble de rectangles ou chaque rectangle représente les tirages qui qui sont dans l’intervalle correspondant. 
Il y a plusieurs façons donner une échelle à un histogramme
	• Histogramme des valeurs : la hauteur de chaque  rectangle est égale au nombre de valeurs dans l’intervalle correspondant.
	• Histogramme des fréquences : la hauteur de chaque  rectangle est égale au pourcentage du nombre de valeurs dans l’intervalle correspondant.
	• Histogramme des densités : l’aire de chaque  rectangle est égale à la proportion  de valeurs dans l’intervalle correspondant.

tirages=RandomReal[2,{10}]
Grid[{{"Valeurs",Histogram[tirages,{.5},LabelingFunction->Above],
Histogram[tirages,{{0,.5,1.5,2}},LabelingFunction->Above]},
{"Frequences",Histogram[tirages,{.5},
"Probability",LabelingFunction->Above],
Histogram[tirages,{{0,.5,1.5,2}},"Probability",LabelingFunction->Above]},
{"Densité",Histogram[tirages,{.5},
"PDF",LabelingFunction->Above],
Histogram[tirages,{{0,.5,1.5,2}},"PDF",LabelingFunction->Above]}},Frame->All]

Tirage d’un dé

Dé:=RandomInteger[{1,6}]
Dé
Table[Dé,{16}]

Table[Histogram[Table[Dé,{ i^4}],6],{i,2,10}]

Le tirage d’un dé est équiprobable car les fréquences d’apparitions de chaque chiffre ont la même limite (1/6).

Vocabulaire

({{Définitions, Exemples}, {Une expérience aléatoire
est une expérience dont on 
ne peut pas prévoir le résultat, Un jet de dé cubique ordinaire
à six faces. Le résultat de 
l'expérience est le nombre 
indiqué sur la face supérieure}, {L'univers ou ensemble fondamental
est l'ensemble de tous les résultats
possibles de l'expérience, 
Ω={1,2,3,4,5,6}}, {Un évènement aléatoire est un 
sous-ensemble de Ω, L'évènement obtenir un nombre 
supérieur ou égal à 5 est :
	 A={5,6}⊂Ω}, {On dit qu'un évènement est 
réalisé lorsqu'il appartient
à  l'ensemble A., Si la face supérieure du dé indique 4, 
l'évènement A  n'est pas réalisé. 
Il l'est si la face du dé indique 5. }, {Un évènement est dit élémentaire
lorsqu'il   ne contient qu'un
seul élément., L'évènement {1} est un évènement 
élémentaire}})

Equiprobabilité

C’est le cas décrit dans la définition de Laplace, lorsque les évènements aléatoires peuvent advenir avec la même chance (le nombre d’apparition d’un évènement ne dépend pas du choix de cet évènement). La probabilité d’un évènement élémentaire est alors (1/(nombre de cas possible)).
La probabilité d’un évènement est le rapport ((Nombre de cas favorables)/(Nombre de cas possibles)).

Exemples :

La probabilité de tirer un nombre ≥5 dans un lancer de dé est
 ((Nombre de cas favorables)/(Nombre de cas possibles))=((|{5,6}])/(|{1,2,3,4,5,6}|))=(2/6)=(1/3).

La probabilité d’obtenir 4-2-1 en lançant  3 dés est 
	((|{(1,2,4},(1,4,2),(2,1,4),(2,4,1),(4,1,2),(4,2,1)}])/(|(({1,2,3,4,5,6})^3)|))=((3!)/(6^3))=(1/36).

La probabilité d’obtenir exactement 10 piles et 10 faces en lançant  20 fois une pièce de monnaie est (((({{20}, {10}})))/(2^20))

Binomial[20,10]/2^20
Binomial[20,10]/2^20//N

Eléments de  combinatoire

Lemme de la théorie des ensembles finis
	|A×B|=|A|×|B|  
	|A⋃B|=|A|+|B|-|A⋂B|

Nombre de mots de longueur n

Le nombre de mots de longueur n que l’on peut former à partir de k lettres est (k^n).

Factorielle

n! est le nombre de façons de ranger n objets différents : c’est le nombre de bijections de {1,..,n} dans {1,..,n}

|{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}|=3!=3.2.1=6

Elements de  combinatoire

Arrangements

Pour 1≤k≤n,  (Subscript[A, n]^k)=((n!)/((n-k)!))=n(n-1)(n-2)...(n-k+1) est le nombre de façons de ranger k objets parmi n objets différents : pour k=3, c’est le nombre de tiercés dans l’ordre.

Factorial[9]/Factorial[3]

Combinaisons

Pour 1≤k≤n, le binomial (({{n}, {k}})) =((n!)/(k! (n-k)!)) est le nombre parties à  k éléments parmi n   
- c’est aussi le nombre de mots à n lettres sur l’alphabet {0,1} qui a k lettres 0 et (n-k) lettres 1
- pour k=3, c’est aussi le nombre de tiercés dans le désordre.

Nombre de partitions

Pour k=(Subscript[k, 1])+(Subscript[k, 2])+...+ (Subscript[k, p]), le nombre de partitions d’un ensemble à n éléments en p parties de (Subscript[k, 1]), (Subscript[k, 2]),...(Subscript[k, p]) éléments est le multinomial  (({{n}, {(Subscript[k, 1]),(Subscript[k, 2]),..., (Subscript[k, p])}})) =((n!)/((Subscript[k, 1])!(Subscript[k, 2])! ...(Subscript[k, p])!  ))    
Exemple. Le nombre de façons de répartir  10 cartes en 3 paquets de 2,3 et 5 cartes chacun  est  (({{10}, {2,3,5}}))=((10!)/(2!3!5!  ))

Multinomial[2,3,5]

Combinaisons avec répétitions

Problème. Le jeu du “Mexico”. On lance deux dès. Avec les deux chiffres obtenus, on forme un nombre dont le chiffre des dizaines est le plus grand des deux chiffres obtenus. Il y a 21 résultats possibles : 11 ; 21 ; 22 ; 31 ; 32 ; 33 ; 41 ; 42 ; 43 ; 44 ; 51 ; 52 ; 53 ; 54 ; 55 ; 61 ; 62 ; 63 ; 64 ; 65 ; 66. 
Même question avec 7 dés.

Eléments de combinatoire

Exercices

Combien d’anagrammes peut on obtenir à partir du mot trois

Combien de mots de longueur 6 peut on former sur l’alphabet {t,r,o,i,s} ?

On exécute 10 lancers de pile ou face. Quelle est la probabilité d’obtenir (dans le désordre) 5 résultats pile et 5 résultas face ?

On tire successivement, une à une, 5 cartes dans un jeu de 52 cartes.
	a - Quelle est la probabilité que ces 5 cartes se suivent (indépendant de leur couleur), dans l’ordre dans laquelle elles ont été tirées ? 
	b  Quelle est la probabilité que ces 5 cartes se suivent (indépendant de leur couleur), sans tenir compte de l’ordre dans laquelle elles ont été tirées ?

Propriétés des probabilités

p(Ω)=1

L’évènement impossible est l’ensemble vide  ⌀ et p(⌀)=0

Si A⊂B, alors p(A)≤p(B)

Si A et B sont incompatibles, c’est à dire lorsque A⋂B=⌀, alors 
p(A⋃B)=p(A)+p(B)

L’évènement contraire de A est (OverBar[A]), complémentaire de A dans Ω, et vérifie
p((OverBar[A]))=1-p(A)

Si A et B ne sont pas incompatibles, alors
p(A⋃B)=p(A)+p(B)-p(A⋂B)

Evènements indépendants

Deux évènements sont dits indépendants lorsque le résultat de l’un ne dépend pas du résultat de l’autre.

Définition Deux évènements A et B sont  indépendants si et seulement  p(A⋂B)=p(A)p(B)

Exemples. Tous les problèmes de tirage avec remise

Exercice.

Une urne contient 3 boules blanches et 5 boules noires. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules blanches en 2 tirages avec remise.

Evènements dépendants et probabilité conditionnelle

Définition. Soient A et B deux évènements avec p(A)≠0. 
La probabilité conditionnelle de B sachant A est p(B|A)=((p(A⋂B))/(p(A)))

Exemples. Tous les problèmes de tirage sans remise

Exercice

Une urne contient 3 boules blanches et 5 boules noires. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules blanches en 2 tirages sans remise.