II. Variable aléatoire

Une expérience

On lance n=10 fois une pièce  et on compte le pourcentage de “pile” obtenu soit (Subscript[S, n])=((#pile)/n).

S[n_]:=Total[Table[RandomInteger[1],{n}]]/n

n=10
S[n]
Table[S[n],{i,0,20}]

S[n] est une fonction aléatoire qui peut prendre les valeurs {0,(1/10),(1/5),(3/10),(2/5),(1/2),(3/5),(7/10),(4/5),(9/10),1}

On cherche alors à connaitre la loi de probabilité de (Subscript[S, n])? C’est à dire P((Subscript[S, n])=(i/n)) pour i=0,1..,n-1,n ?

On répète l’expérience plusieurs fois ...

On réalise k=20 tirages de (Subscript[S, n])

k=20;
n=10;
tirages=Table[S[n], {k}]//N

Question 1 Quelle est le nombre de tirages pour lesquels on a obtenu autant de piles que de faces ? 4/5 de piles ... ?

Count[tirages,.5]

Count[tirages,.8]

Question 2 Comment représente-on un histogramme des résultats ?

k=20;
n=10;
tirages=Table[S[10], {k}];
histogramme=Table[{i/n,Count[tirages,i/n]},{i,0,n}];
ListPlot[histogramme,Filling->Axis,PlotRange->All]

On remarque que les graphes obtenus diffèrent sensiblement selon les tirages. remarquons toutefois que la somme des valeurs est toujours égale à k.
On définit loi empirique h comme l’histogramme normalisé h=(histogramme/k)

k=20;
n=10;
tirages=Table[S[10], {k}];
h=Table[{i/n,Count[tirages,i/n]/k},{i,0,n}];
ListPlot[h,Filling->Axis,PlotRange->All]

On remarque que les graphes de la loi empirique obtenus diffèrent sensiblement selon les tirages mais que la somme des valeurs est maintenant toujours égale à 1.

Augmentons le nombre de tirages (k=100)

k=100;
n=10;
tirages=Table[S[10], {k}];
h=Table[{i/n,Count[tirages,i/n]/k},{i,0,n}];
ListPlot[h,Filling->Axis,PlotRange->All]

Les diagrammes obtenus varient moins

Augmentons encore le nombre de tirages (k=100 000)

k=100000;
n=10;
tirages=Table[S[10], {k}];
h=Table[{i/n,Count[tirages,i/n]/k},{i,0,n}];
ListPlot[h,Filling->Axis,PlotRange->All]

k=100000;
n=10;
tirages=Table[S[10], {k}];
h=Table[{i/n,Count[tirages,i/n]/k},{i,0,n}]//N

La  limite  est alors la loi de probabilité recherchée

Question 3  Quelle est la probabilité pour que  le pourcentage de pile est compris entre .3 et .6

P(.3≤(Subscript[S, n])≤.6) =P((Subscript[S, n])∈ {.3,.4,.5,.6})
		=P((Subscript[S, n])=.3)+P((Subscript[S, n])=.4)+P((Subscript[S, n])=.5)+P((Subscript[S, n])=.6)
		≈h(.3)+h(.4)+h(.5)+h(.6)

Variable Aléatoire

Definition. Une variable aléatoire est une fonction de l’ensemble des évènements dans ℝ (pour le moment).

Exemples

On tire n fois à pile ou face et on compte le pourcentage de fois que l’on obtient pile

S[n_] :=Count[ RandomInteger[1,{n}] ,1]/n
S[10]
k = 100000;
n = 10;
tirages = Table[S[n], {k}];
Histogram[tirages,{0.1},"Probability", LabelingFunction->Above]

Exemples

On tire deux dés et on s’intéresse à la somme des chiffres présent sur la face supérieure de ces dés.

S[n_]:=RandomInteger[{1,6}]+RandomInteger[{1,6}]
k=100000;
n=10;
tirages=Table[S[10], {k}];
h=Table[{i,Count[tirages,i]/k},{i,0,12}];
ListPlot[h,Filling->Axis,PlotRange->All]

Exemples

On tire à pile ou face et on s’arrète lorque l’on obtient pile. La variable aléatoire est le nombre de tirages réalisés

S[n_]:=Block[{i=1},While[RandomInteger[1]==0,i++];Return[i]]
k=100000;
n=10;
tirages=Table[S[10], {k}];
h=Table[{i,Count[tirages,i]/k},{i,0,Max[tirages]}];
ListPlot[h,Filling->Axis,PlotRange->All]

... donner d’autres exemples

Loi de Probabilité

Definition. La loi de probabilité d’une variable aléatoire X sur un univers Ω est la fonction de ℝ dans [0,1] définie par f(x)=p(X=x) .

Certains auteurs l’appellent également fonction de densité, ici nous réserverons le terme de fonction de densités aux variable aléatoires continues.

La loi de probabilité de la variable aléatoire somme de deux dés est définie par le tableau suivant

On peut expliquer les test obtenus précédemment

S[n_]:=RandomInteger[{1,6}]+RandomInteger[{1,6}]
k=100000;
n=10;
tirages=Table[S[10], {k}];
h=Table[{i,Count[tirages,i]/k},{i,0,12}];
ListPlot[h,Filling->Axis,PlotRange->All]

Loi de probabilité

Diagramme de toutes les possibilités, et calcul de ((#cas favorables)/(# cas possibles))

({{x, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, {f(x)=p(X=x), (1/36), (2/36), (3/36), (4/36), (5/36), (6/36), (5/36), (4/36), (3/36), (2/36), (1/36)}})

univers=Tuples[Range[6],{2}]
n=Length[univers]
valeurs=Map[Total,univers]
densité=Table[Count[valeurs,i],{i,2,12}]/n
Total[densité]
BarChart[densité,ChartLabels->Range[11]+1,LabelingFunction->Above]

Fonction de répartition

Definition. La fonction de répartition d’une variable aléatoire X sur un univers Ω est la fonction de ℝ dans [0,1] définie par F(x)=p(X≤x) .

({{x, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, {f(x)=p(X=x), (1/36), (2/36), (3/36), (4/36), (5/36), (6/36), (5/36), (4/36), (3/36), (2/36), (1/36)}})

La fonction de répartition de la variable aléatoire somme de deux dés est définie par le tableau suivant

({{x, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, {F(x)=p(X≤x), (1/36), (3/36), (6/36), (10/36), (15/36), (21/36), (26/36), (30/36), (33/36), (35/36), (36/36)=1}})

répartition=Accumulate[densité]
BarChart[répartition,ChartLabels->Range[11]+1,LabelingFunction->Above]

Propriétés

Une loi de probabilité prend des valeurs entre 0 et 1

La somme des valeurs de la loi de probabilité  est égale à 1 :  (∑_(i=1)^N)f((Subscript[x, i]))=1

La fonction de partition est positive ou nulle, croissante, et sa plus grande valeur est 1

Espérance

L’espérance E(X) d’une variable aléatoire X correspond à la moyenne des valeurs que l’on obtiendrait en faisant une infinité de tirages. C’est la moyenne des valeurs de la variable aléatoire pondérées par leur probabilité
			E(X)=(∑_(i=1)^N)(Subscript[x, i])p(X=(Subscript[x, i]))=(∑_(i=1)^N)(Subscript[x, i])f((Subscript[x, i]))

Exemple : somme de deux dés

({{x, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, {f(x)=p(X=x), (1/36), (2/36), (3/36), (4/36), (5/36), (6/36), (5/36), (4/36), (3/36), (2/36), (1/36)}})

univers

Map[Total,univers]
Mean[Map[Total,univers]]

Variance et Ecart-type

La variance Var(X) d’une variable aléatoire X correspond à la moyenne de carrés des distances à l’espérance E(X), que l’on obtiendrait en faisant une infinité de tirages. 
			Var(X)   =E((((X-E(X)))^2))
				    =(∑_(i=1)^N)((((Subscript[x, i])-E(X)))^2)p(X=(Subscript[x, i]))
=(∑_(i=1)^N)((((Subscript[x, i])-E(X)))^2)f((Subscript[x, i]))
L’écart-type σ d’une variable aléatoire X est la racine carrée de la variance
			σ=(Sqrt[Var(X)])

Exemple : somme de deux dés, calculer l’espérance, la variance et l’écart-type

({{x, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, {f(x)=p(X=x), (1/36), (2/36), (3/36), (4/36), (5/36), (6/36), (5/36), (4/36), (3/36), (2/36), (1/36)}})

univers

X=Map[Total,univers]
Ex=Mean[X]
Mean[(X-Ex)^2]
Mean[(X)^2]
Mean[(X)^2]-Mean[(X)]^2
Variance[X]

Propriétés

Théorème de König : 
Var(X)=E((X^2))-E(((X))^2)

Somme de variables aléatoires

Le problème est, à partir de deux variables aléatoires discrètes X et Y, indépendantes, de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire S=X+Y. 
Pour simplifier, on supposera que X et Y sont à valeurs dans ℕ.

La loi de probabilité de S est alors

P(S=x)=P  ( (Underoverscript[⋃  , (i=0), x])(X=i ⋂Y=x-i))   ces évènements sont disjoints donc
	=(∑_(i=0)^x)P(X=i ⋂Y=x-i)   X et Y sont indépendantes donc
	=(∑_(i=0)^x)P(X=i)P(Y=x-i) par définition de f et g
	=(∑_(i=0)^x)f(i)g(x-i)

Définition. La convolution discrète de deux fonction f et g est la fonction f⋆g(x)=(∑_(i=0)^x)f(i)g(x-i)

Propriétés

Théorème. La loi de probabilité de la somme X+Y de deux variables aléatoires discrètes X et Y, indépendantes,  de loi de probabilité respectivement f et g est la convolution discrète  
f⋆g(x)==(∑_(i=0)^x)f(i)g(x-i)

Théorème. L’espérance de la somme X+Y de deux variables aléatoires discrètes X et Y,  est la somme des espérances de X et de Y.

Théorème. La variance de la somme X+Y de deux variables aléatoires discrètes X et Y, indépendantes,  est la somme des variances de X et de Y

Corrolaire. La variance de la moyenne (OverBar[X])= (1/n) (∑_(i=1)^n)(Subscript[X, i]) de n variables aléatoires discrètes (Subscript[X, i]) , de même loi qu’une variable aléatoire X est Var((OverBar[X]))=((σ^2)/n)

Estimation  sans biais de la variance

Lorsque l'on estime la variance à partir d'un échantillon de taille n,  la variance utilisée est un peu différente de la définition. En effet, appliquer la définition sur un échantillon produit un biais du fait que c'est le même échantillon qui sert à estimer la moyenne E(x) et la variance.

Exemples

n=20;
liste=RandomInteger[9,n]
Mean[(liste-Mean[liste])^2]
Mean[liste^2]-Mean[liste]^2
n Mean[(liste-Mean[liste])^2]/(n-1)
Variance[liste]

Estimation  sans biais de la variance

Si l'on désigne par (OverBar[x])=(1/n)(∑_(i=1)^n)(Subscript[x, i])  et (Subscript[V, n])=(1/n)(∑_(i=1)^n)((((Subscript[x, i])-(OverBar[x])))^2)=(1/n)(∑_(i=1)^n)(Subscript[x, i]^2)-((OverBar[x])^2) , on peut montrer que E((Subscript[V, n]))=((n-1)/n)Var(X).

Preuve

En effet on a  E((Subscript[V, n])) =1/n (∑_(i=1)^n)E((Subscript[x, i]^2)) - E(((OverBar[x])^2))

Pour le premier terme
		1/n (∑_(i=1)^n)E((Subscript[x, i]^2))=1/n (∑_(i=1)^n)E((X^2))=E((X^2))=E(((X))^2)+V(X)
		
Pour le second, on remarque tout d’abord  que E((OverBar[x]))=E(X) et que V((OverBar[x]))=(1/n)V(X) on déduit que 
E(((OverBar[x])^2))= ((E((OverBar[x])))^2)+ V((OverBar[x]))=((E(x))^2)+(1/n)V(X)

On en déduit donc que E((Subscript[V, n]))=((n-1)/n)V(X)

Estimateur sans biais de la variance 
L'estimateur  sans biais de la variance est (Subscript[V, n-1])=(n/(n-1))(Subscript[V, n])=(1/(n-1))(∑_(i=1)^n)((((Subscript[X, i])-(OverBar[X])))^2).

Preuve. En effet, E((Subscript[V, n-1]))=(n/(n-1))E((Subscript[V, n]))=(n/(n-1))((n-1)/n)V(X)=V(X)

Définitions

Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle.

Remarque. Si X est une variable aléatoire d’espérance E(X) alors X-E(X) est centrée

Une variable aléatoire est dite réduite si son écart type est égal à 1.

Remarque. Si X est une variable aléatoire de variance (σ^2) alors (X/σ) est réduite

Une variable aléatoire réduite et centrée est dite standardisée

Remarque. Si X est une variable aléatoire  d’espérance E(X)  et de variance (σ^2) alors ((X-E(X))/σ) est réduite