III. Variables aléatoires discrètes

Variable de Bernouilli

Une variable aléatoire de Bernouilli est une variable aléatoire discrète qui ne peut prendre que les deux valeurs 1 et 0 avec probabilité p et q=1-p.

({{x, 0, 1}, {f(x)=P(X=x), q, p}})

Exemple. Une urne contient deux boules rouges et 3 boules vertes. On tire une boule au hasard et on considère la variable aléatoire 
	X=nombre de boules rouges tirées. 
	p(X=1)=(2/5)
	p(X=0)=(3/5)

Propriétés : moyenne, variance, écart-type,Loi de probabilité, Fonction de répartition ?

Variable de Bernouilli

Si X est une  variable de Bernouilli de paramètre p,
• E(X)=p
• V(X)=pq

Distribution binomiale

On appelle Distribution Binomiale la répétition de n épreuves de Bernouilli indépendantes où la variable aléatoire est le nombre de succès (obtention de la valeur 1).

Cela revient à tirer au hasard un mot de longueur n sur l'alphabet {0,1}, chaque 0 ayant une probabilité q d'apparaitre et chaque 1 une probabilité p. 
La probabilité qu’un  mot particulier  w=(Subscript[w, 1])(Subscript[w, 2])..(Subscript[w, n]) apparaisse ne dépend que du nombre de 0 et de 1 dans w et est égal à (p^(Subscript[|w|, 1]))(q^(Subscript[|w|, 0])).
Il y a (({{n}, {k}})) mots de longueur n ayant exactement k lettres égales à 1et on en déduit que 			p(X=k)=(({{n}, {k}}))(p^k)(q^(n-k))

Propriétés : moyenne, variance, écart-type,Loi de probabilité, Fonction de répartition ?

Distribution Binomiale

Manipulate[
Row[{
BarChart[Table[PDF[BinomialDistribution[n,p],i], {i,0,n}],PlotRange->{{-.5,30.5},{-.1,1}}, Epilog->{PointSize[.03], RGBColor[1,.47,0], Point[{n*p+1,0}]},ImageSize->{450,350}],
BarChart[Table[CDF[BinomialDistribution[n,p],i], {i,0,n}],PlotRange->{{-.5,30.5},{-.1,1}}, Epilog->{PointSize[.03], RGBColor[1,.47,0], Point[{n*p+1,0}]},ImageSize->{450,350}]
}],
 {{n,10,"n nombre de tirages"}, 1,30,1,Appearance->"Labeled"}, {{p,.5,"probabilité p d'avoir pile"},0,1,Appearance->"Labeled"}]

Distribution Binomiale

Si X suit une  Distribution Binomiale de paramètres n et p,
• E(X)=np
• V(X)=npq

Distribution géométrique

On appelle Distribution géométrique la répétition d’épreuves de Bernouilli indépendantes jusqu’à obtention d’un succès (obtention de la valeur 1), où la variable aléatoire est le nombre de répétitions.

Dire que X=k signifie que les (k-1)premiers  tirages ont été défavorables et qu’un succès au k-ième tirage a été réalisé, on a donc
		p(X=k)=(q^(k-1))p

Propriétés : moyenne, variance, écart-type, loi de probabilité, fonction de répartition ?

Distribution géométrique

Manipulate[Row[{
BarChart[Table[PDF[GeometricDistribution[p],i], {i,0,30}],PlotRange->All,ImageSize->500, Epilog->{PointSize[.03], RGBColor[1,.71,0], Point[{p+1,0}]}], 
BarChart[Table[CDF[GeometricDistribution[p],i], {i,0,30}],PlotRange->All,ImageSize->500, Epilog->{PointSize[.03], RGBColor[1,.71,0], Point[{p+1,0}]}]}],{{p,.5,"intensity"}, .01,.99}]

Distribution Géométrique

Espérance et écart type

esperance=Sum[ n p q^(n-1),{n,1,Infinity}]/.(q->1-p)

variance=Simplify[(Sum[n^2 p q^(n-1),{n,1,Infinity}]/.(q->1-p))-esperance^2]

Si X suit une  Distribution Géométrique de paramètres n et p,
• E(X)=(1/p)
• V(X)=(q/(p^2))

Somme de distributions Géométriques

La somme de deux   Distributions Géométriques de paramètres  (Subscript[n, 1]), p et (Subscript[n, 2]), p est la distribution géométrique  de paramètre  (Subscript[n, 1]) + (Subscript[n, 2]),p

Distribution de Poisson

La distribution de Poisson intervient dans tous les problèmes d’occurences d’évènements rare en un laps de temps fixé.On peut considérer soit le nombre d’occurences de ces évènements dans un laps de temps fixé, soit l’intervalle de temps entre deux évènements consécutifs.

À titre d’exemple, une unité de production emploie 300 ouvriers et le taux moyen d’absentéisme est de 5 %. Sur le site, il est quasi impossible de trouver 25 intérimaires en même temps. Quel risque y a-t-il d’enregistrer au moins 25 absences simultanément ? Le paramètre de la loi de Poisson est de 300 × 0,05 = 15. Ensuite, soit on additionne les valeurs trouvées sur une table de cette loi, soit on fait le calcul. Par exemple, sur Excel, =1-LOI.POISSON(24 ;15 ;VRAI) nous donne une probabilité de 0,01116, soit 1,1 %.

1-CDF[PoissonDistribution[15.],24]

D’autres exemples concernent par exemples, le nombre d’accidents, le nombre de collisions dans un routeurs, le nombre de photons reçus ...

On peut considérer que la distribution de Poisson est la limite de la loi binomiale quand	 n⟶∞. Plus précisément, on considère les lois binomiales de paramètre p=(λ/n). En pratique, on approche la loi B(n,p) par la loi P(np) dès que n>20,p<0.1 et np<5.

Définition. La loi de Poisson de paramètre λ est donnée par
		p(X=k)=(e^(-λ))((λ^k)/(k!))

Distribution de Poisson

Espérance et écart type

Sum[ n Exp[-λ]λ^n/n!,{n,0,Infinity}]

Sum[n^2 Exp[-λ]λ^n/n!,{n,0,Infinity}]

Sum[(n-λ)^2 Exp[-λ]λ^n/n!,{n,0,Infinity}]

Si X suit une  Distribution de Poisson de paramètre λ,
• E(X)=λ
• V(X)=λ

Somme de distributions de Poisson

La somme de deux   Distributions de Poisson de paramètres  (Subscript[λ, 1]) et  (Subscript[λ, 2]) est la distribution de Poisson  de paramètre  (Subscript[λ, 1]) + (Subscript[λ, 2])

Distribution de Poisson

Manipulate[Row[{
BarChart[Table[PDF[PoissonDistribution[lambda],i], {i,0,30}],PlotRange->{-.1,.4},ImageSize->500, Epilog->{PointSize[.03], RGBColor[1,.71,0], Point[{lambda+1,0}]}], 
BarChart[Table[CDF[PoissonDistribution[lambda],i], {i,0,30}],PlotRange->{-.1,.4},ImageSize->500, Epilog->{PointSize[.03], RGBColor[1,.71,0], Point[{lambda+1,0}]}]}],{{lambda,5,"intensity"}, 1,30}]

Rappels sur les suites et les séries de fonctions

Suites numériques

Exemple. Soit (Subscript[u, n]) la suite numérique définie par (Subscript[u, n])=(Sqrt[(n^2)+n])-n. Est elle convergente ?

u[n_]:=Sqrt[n^2+n]-n
ListPlot[Table[u[n],{n,0,50}]]

Théorème. Toute suite croissante et majorée est convergente (admet une limite)

Exemple. Soit (Subscript[u, n]) la suite numérique définie par (Subscript[u, 0])=1
 et (Subscript[u, n+1])=(Sqrt[(Subscript[u, n])+1])

Clear[x]
u[0]=1;
u[n_]:=Sqrt[1+u[n-1]]
Table[u[n]//N,{n,0,10}]
sol=Solve[x==Sqrt[1+x],x]
x0=x/.sol[[1]]
x0//N

Rappels sur les suites et les séries de fonctions

Séries de fonctions

Certaines fonctions ont la propriété de d’exprimer comme série (somme infinie) de puissances de x. Une fonction f(x) est développable en série entière à l’origine lorsqu’il une suite (Subscript[a, i]) de réels ne dépendant pas de x et un  réel R,  appelé rayon de convergence, tel que , pour tout réel x tel que  |x|<R, la suite numérique 
		(Subscript[u, n])(x)=(∑_(i=0)^n)(Subscript[a, i])(x^i) est convergente et a pour limite f(x)
Une fonction développable en série entière a beaucoup de propriétés, en particulier celle d’être infiniment dérivable dans son disque de convergence, et ses dérivées sont toutes également développables en série entière avec le même disque de convergence. 

 Il faut connaitre les principales fonctions développable en série entière: