UNSA - MAITRISE INFORMATIQUE - OPTION SAC


TRAVAUX PRATIQUES : Chaos Déterministe


1. Transitions vers le chaos par dédoublement de période

2. Dynamique des populations


1. Transitions vers le chaos par dédoublement de période

1.      Explorer les itérations de la fonction logistique k.x.(1-x)

o        Faire varier le paramètre de contrôle k et la valeur initiale x0

o       Vérifier la sensibilité aux conditions initiales (valeur de x0) du comportement à long terme

2.      Explorer le diagramme de bifurcation de la fonction logistique

o        Mettre en évidence une période 2, 4, 8, 16

o       Mettre en évidence une période 3. Que peut-on en conclure ?

o       Mettre en évidence une période 5, 7

o       Mettre en évidence le chaos

3.      Vérifier expérimentalement l’universalité de la constante de Feigenbaum

Cette constante est approximativement égale à 4.66920160910299067185320382047
Pour chaque fonction,
logistic et gauss, relever les valeurs du paramètre de contrôle k qui correspondent aux quatre premières bifurcations.

Remplir le tableau suivant pour l’itération de la fonction logistique k.x.(1-x)

logistic.xls

 

 

Bifurcation n°1 pour k1

 

 

Bifurcation n°2 pour k2=

d1=k2-k1

 

Bifurcation n°3 pour k3=

d2=k3-k2=

d1/d2

Bifurcation n°4 pour k4=

d3=k4-k3=

d2/d3=

Remplir le tableau suivant pour l’itération de la fonction k.exp(-(1-x)2)

gauss.xls

 

 

Bifurcation n°1 pour k1

 

 

Bifurcation n°2 pour k2=

d1=k2-k1

 

Bifurcation n°3 pour k3=

d2=k3-k2=

d1/d2

Bifurcation n°4 pour k4=

d3=k4-k3=

d2/d3=

 

4.      Calcul de l'exposant de Lyapunov pour l’équation logistique

// Initialisation

// x0 arbitraire entre 0 et 1

x=x0;for(i=1;i<A;i++) x=r*x*(1-x);

// Calcul de l'exposant

total=0;

for(i=1;i<B;i++){
  x=r*x*(1-x);
  total=+Log(r*(1-2*x))/Log(2);}

exposant=total/B;

/* A et B entiers arbitraires, aussi grands que possible pour que le calcul soit précis */


2. Dynamique des populations : interactions entre deux espèces

Le modèle étudié précédemment (Equation Logistique) prend en compte une seule espèce. La plupart des dynamiques intéressantes en biologie concernent les interactions entre plusieurs espèces. Le modèle mathématique de Lotka et Volterra (1926) décrit de façon très simplifiée les interactions entre deux espèces dans un écosystème, un prédateur et une proie (par exemple, des renards et des lapins). Comme il y a deux espèces, le modèle comporte deux équations, une qui décrit comment la population de lapins évolue et la seconde qui décrit comment la population de renards évolue. Soit X(t) la population des proies et Y(t) la population des prédateurs à la génération t. Selon le modèle de Lotka-Volterra l’évolution de ces deux populations est décrite par les deux équations :

X(t+1) - X(t) = +r.X(t) -a.X(t).Y(t)

Y(t+1) - Y(t) = -m.Y(t) +b.X(t).Y(t)


r = taux naturel de reproduction des proies en l’absence de prédateur
a = taux de mortalité des proies du aux prédateurs
b = taux de reproduction des prédateurs relativement aux proies mangées
m = taux naturel de mortalité des prédateurs en l'absence de nourriture (proies)

+r.X représente l’hypothèse que taux naturel de reproduction des proies en l’absence de prédateur dépend simplement du nombre de proies dans la population, et qu’il y a des ressources illimitées (nourriture) disponibles pour les proies.

-a.X.Y représente la diminution des proies dans la population due aux prédateurs.

+b.X.Y représente l’augmentation des prédateurs due aux proies.

-m.Y représente la diminution des prédateurs par mort "naturelle".

Pour les expériences utiliser le logiciel : Simulation Lokta-Volterra

Expérience 1 : une seule espèce

  1. sans prédateur : Y(0)=0
  1. sans proie : X(0)=0

Expérience 2 : Etat fixe

a.       Déterminer une configuration (valeurs des paramètres) pour obtenir la population initiale (X=1,Y=1) comme état fixe (steady state). Indication : considérer le système d’équations 0=+r.X-a.X.Y et 0=-m.Y+b.X.Y

b.      Déterminer une configuration (valeurs des paramètres) pour obtenir la population initiale (X=1,Y=2) comme état fixe

c.       On considère le système r = 0.5 ; a = 0.005 ; b = 0.005 et m = 1. Montrer que les populations initiales (X=200,Y=100) correspondent à un état fixe.

d.      Perturber légèrement les populations initiales (X=200,Y=100). Comment évoluent les populations ? Cet état fixe (X=200,Y=100) est-il stable ?

Expérience 3 : Dynamique cyclique

Le comportement le plus intéressant est observé quand le taux de mortalité des prédateurs est beaucoup plus important que celui des naissances. La population des proies augmente de façon durable quand il y a peu de prédateurs. Quand le nombre de proies atteint un pic, la population de prédateurs augmente de façon exponentielle, épuisant ainsi le nombre de proies et réduisant la population de prédateurs – puis le cycle ce répète. Ce type de phénomène a, par exemple, été observé dans le comportement des populations de lynx et de lièvre canadien mesurées par leur nombre de ventes par la Compagnie Commerciale de la Baie d’Hudson entre 1845 et 1935.

a.       On considère le système r = 0,1 ; a = 0,1 ; b = 0,1 et m = 0,1.

o       Vérifier expérimentalement qu’à partir des populations initiales (X=2,Y=1) la dynamique est cyclique.

o       Quelle est la période du cycle ?

b.      Déterminer par le calcul, dans le cas général,

o       en fonction de a et r, pour quelles valeurs de Y la population des prédateurs cesse de décroître ou de croître. Indication : considérer le système d’équations 0=+r.X-a.X.Y et 0=-m.Y+b.X.Y

o       en fonction de b et m, pour quelles valeurs de X la population des proies cesse de décroître ou de croître.

c.       Dans le cas d’une dynamique cyclique (c.f. 3.a), utiliser le résultat précédent pour décomposer un cycle en quatre phases. On pourra visualiser ces phases dans l’espace des points (X(t),Y(t)).

d.      On considère le système r = 0,1 ; a = 0,1 ; b = 0,1 et m = 0,1.

o       Vérifier expérimentalement qu’à partir des populations initiales (X=10,Y=1) les populations convergent vers un cycle limite.

o       Quelle est la période du cycle ?

Expérience 4 : Pot pourri …

a.       r = 0,10 ; a = 0,10 ; b = 0,09 ; m = 0,90 et populations initiales (X=10,Y=1)

b.      r = 0,10 ; a = 0,10 ; b = 0,09 ; m = 0,90 et populations initiales (X=10,Y=2)

L’essentiel du matériel utilisé dans cette partie est issu du site http://www.gypsymoth.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/lec10/lotka.html


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