Ancien élève de l'École Normale Supérieure
Ancien professeur de Mathématiques Spéciales
Maître-assistant à l'Université Paris VII
Premier cycle et préparation aux Grandes Écoles
Le présent livre développe les théories classiques d'Algèbre correspondant au niveau suivant immédiatement celui du Baccalauréat : il est donc destiné en premier lieu aussi bien aux étudiants des deux années du Premier Cycle de l'Enseignement Supérieur qu'à ceux qui préparent les Concours d'entrée aux Grandes Écoles Scientifiques dans les Classes Préparatoires des Lycées.
Il est destiné également à toute personne ayant besoin de bonnes connaissances de base en Algèbre dans l'exercice de son activité professionnelle. C'est pour cela que l'on a pas voulu s'enfermer strictement dans la lettre des programmes du Premier Cycle universitaire ou de ceux des Classes Préparatoires.
[...]
M.Q.
Chaque chapitre est en général divisé en sections (I, II, ...). Les sections sont divisées en paragraphes numérotés d'un bout à l'autre de 1 à 240. Les références renvoient aux paragraphes (exemple : cf. § 25). Les exemples et exercices inclus dans le texte sont numérotés par paragraphe (exemple : § 137, ex. 4). Les exercices de fin de chapitre sont numérotés d'un bout du livre à l'autre (exemple : ex. 208, fin du chapitre 8).
Une théorie mathématique se présente sous la forme d'une suite d'énoncés (définitions et propositions) tels que toute définition soit donnée au moyen de termes déjà définis et que toute définition soit démontrée à l'aide de propositions déjà admises. C'est cet ordre logique dans les énoncés qui transforme une collection de résultats sans lien les uns avec les autres en une théorie déductive : le premier essai de constitution d'une telle théorie remonte à Euclide, ou à ses prédécesseurs immédiats (IVe et IIIe siècles avant J.-C.).
Ces considérations appellent plusieurs remarques :
Une assertion est un énoncé dont on peut affirmer sans ambiguïté s'il est vrai ou s'il est faux.
Par exemple : « 3 < 10 » est une assertion vraie; « 5 < 2 » est une assertion fausse. « Tout triangle isoscèle est équiangle » est une assertion vraie.
Les énoncés que nous rencontrerons le plus souvent sont d'une nature plus générale : Ils contiendrons des variables, ils seront vrais pour certaines valeurs attribuées aux variables, faux pour toutes les autres valeurs. Un tel énoncé s'appelle une proposition. Nous représenterons une proposition par une lettre P, Q, R...
Par exemple : « x > 10 » est une proposition, elle est vraie pour les nombres strictement supérieurs à 10, fausse dans tous les autres cas.
« La hauteur du triangle T est médiane du triangle T » est une proposition vraie pour les triangles T isoscèles, fausse dans tous les autres cas.
Cette attitude élémentaire ne préjuge pas de l'existence ou de la non-existence d'énoncés dont on ne saurait démontrer s'ils sont vrais ou s'ils sont faux.
On voit qu'une assertion est une proposition toujours vraie ou toujours fausse.
La négation d'une proposition « P » que nous noterons « non P » est vraie lorsque P est fausse, fausse lorsque P est vraie.
La négation d'une proposition peut être schématisée par le tableau 1 qui s'appelle une table de vérité :
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La proposition « (non P) ou Q) » appelée implication (col. 5) se note :
P ⇒ Q
et s'énonce : « P implique Q » ou « P entraîne Q ».
a) Nous dirons qu'un ensemble F est inclus dans un ensemble E lorsque tout élément de F appartient à E; on écrit :
F ⊂ E
par définition :
F ⊂ E ⇔ (pour tout x) (x ∈ F ⇒ x ∈ E)
[...]
[...]
Designons par E un ensemble non vide possédant les trois propriétés désignées ci-dessous par N1, N2, N3.
N1. E est un ensemble ordonné, toute partie non vide de E a un plus petit élément.
[...]
Il arrive que l'on prenne pour l'un des axiomes définissant N le résultat suivant qui est le principe de raisonnement par récurrence; avec le mode d'exposition adopté cet énoncé est un théorème.
Toute partie X de N telle que
p(0) et [(∀ x ∈ N) (p(x) ⇒ p(x'))]
alors p est vraie pour tout x de N.